Giáo án ôn tập Toán 6 - Chương II: Số nguyên

CHƯƠNG II: SỐ NGUYÊN
PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Số nguyên: Tập hợp các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương gọi là tập hợp cá số nguyên. Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là .
= {...; -3; -2; -1; 0;1; 2;3;...}
Dạng 1: SO SÁNH SỐ NGUYÊN
So sánh số nguyên: Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
Chú ý: Số nguyên b gọi là số liền sau của số nguyên a nếu a < b và không có số nguyên nào nằm giữa a và b (lớn hơn a và nhỏ hơn b). Khi đó ta cũng nói a là số liền trước của b.
Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0.
Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0.
Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kỳ số nguyên dương nào.
Các dạng toán thường gặp.
So sánh hai số nguyên với nhau: Căn cứ vào nhận xét
+) Số nguyên dương luôn lớn hơn 0.
+) Số nguyên âm luôn nho hơn 0
+) Số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm
+) Trong hai số nguyên âm, khi bor dấu trừ đằng trước số nào lớn hơn thì số nguyên âm đó bé hơn
So sánh với 0: Tích hai số nguyên cùng dấu luôn lớn hơn 0, tích hai số nguyên trái dấu luôn nhỏ hơn 0
So sánh một tích với một số:Áp dụng quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu, hoặc trái dấu hoặc tính ra kết quả để so sánh.
So sánh hai biểu thức với nhau: Áp dụng quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu với nhau, quy tắc dấu ngặc... rồi so sánh kết quả hai biểu thức với nhau
Dạng 2: CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ NGUYÊN
* Quy tắc cộng hai số nguyên được xác định như sau:
+ Nếu một trong hai số bằng 0 thì tổng bằng số kia
+ Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0
+ Muốn cộng hai số nguyên âm:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước mỗi số.
Bước 2: Tính tổng của hai số nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thêm dấu "- " trước tổng nhận được ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.
+ Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0 .
+ Muốn cộng hai số nguyên khác dấu:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2: Trong hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn.
Bước 3: Cho hiệu vừa nhận được dấu ban đầu của số lớn hơn ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.
Quy tắc trừ hai số nguyên được xác định như sau: Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b , ta cộng a với số đối của b .
Quy tắc nhân hai số nguyên xác định như sau:
+ Nếu một trong hai số bằng 0 thì tích bằng 0
+ Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0
+ Muốn nhân hai số nguyên âm:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2: Lấy tích hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.
+ Muốn nhân hai số nguyên khác dấu:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2: Lấy tích hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Đặt dấu "- " trước kết quả tìm được ở Bước 2, ta có tích cần tìm.
Quy tắc chia hai số nguyên xác định như sau:
+ Muốn chia hai số nguyên khác dấu:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2: Lấy thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.
Bước 3: Đặt dấu "- " trước kết quả tìm được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.
+ Muốn chia hai số nguyên âm:
Bước 1: Bỏ dấu "- " trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.
Bước 2: Lấy thương hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.
*Phép chia hết trong tập hợp số nguyên:
Cho hai số nguyên
a,b với b khác 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói:
a chia hết cho b ;
a là bội của b ;
b là ước của a .
*Qui tắc đấu ngoặc:
+ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.
+ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc (dấu ”+ ” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+“).
Tính chất của phép cộng số nguyên:
+ Tính giao hoán: a + b = b + a
+ Tình kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
Tính chất của phép nhân số nguyên:
+ Tính giao hoán: a.b = b.a
+ Tình kết hợp: a(b.c) = (a.b)c
+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép công: a(b + c) = ab + ac
* Thực hiện phép tính Phương pháp giải:
Thứ tự thực hiện phép tính:
Quan sát, tính nhanh nếu có thể.
Đối với biểu thức không có dấu ngoặc:
Lũy thừa Þ Nhân và chia Þ Cộng và trừ (Tính từ trái sang phải)
Đối với biểu thức có dấu ngoặc: tính theo thứ tự: ( ) Þ [ ] Þ { }
Dạng 3: TÌM 
+ Xét xem: Điều cần tìm đóng vai trò là gì trong phép toán (số hạng, số trừ, số bị trừ, thừa số, số chia, số bị chia)
(Số hạng) = (Tổng) – (Số hạng đã biết) (Số trừ) = (Số bị trừ - Hiệu)
(Số bị trừ) = (Hiệu) + (Số trừ)
(Thừa số) = (Tích) : (Thừa số đã biết) (Số chia) = (Số bị chia) :(Thương) (Số bị chia) = (Thương). (Số chia)
+ Chú ý thứ tự thực hiện phép tính và mối quan hệ giữa các số trong phép tính
Dạng 4: RÚT GỌN SỐ NGUYÊN
Dạng toán thu gọn biểu thức: Thực hiên các phép toán, áp dụng các tính chất của phép toán cộng trừ nhép nhân hai số nguyê, hoặc thứ tự thực hiện các phép toán nhằm biến đổi biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.
Dạng 5: TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
* Quan hệ chia hết:
+ Cho hai số tự nhiên a và b (b ¹ 0)
Nếu có số tự nhiên q sao cho a = qb thì ta nói a chia hết cho b Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b
a b
Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b và kí hiệu là a b . Nếu số dư a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b ta kí hiệu
+ Cách tìm ước và bội
Muốn tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1, ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.
* )
Để tìm các bội của n (n Î	ta có thể nhân n lần lượt với 0; 1; 2; 3Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n
Tính chất chia hết của một tổng
+ Tính chất chia hết của một tổng:
m
m = a m + b m
Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.
m
m
Nếu a m và b
thì (a + b)
m khi đó (a + b)
Nếu a m , b
m;b
+ Tính chất chia hết của một hiệu
và c m thì (a + b + c)
Với a ³ b nếu a
thì (a - b) m khi đó (a - b)
m = a m - b m
+ Tính chất chia hết của một tích.
Nếu a m thì (a.b)
m với mọi số tự nhiên b
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
+ Các số có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5
Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
Bộ sách Chân trời sáng tạo:
* Quan hệ chia hết : Chia hết và chia có dư :
b
+ Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b.q + r , trong đó 0 £ r < b . Ta gọi q và r lần lượt là thương và số dư trong phép chia a cho b.
+ Nếu r =0 tức là a=b.q, ta nới a chia hết cho b, kí hiệu a
và ta có phép chia hết a : b = q
+ Nếu r ¹ 0 ta nói a không chia hết cho b, kí hiệu a b và ta có phép chia có dư.
n
n
n
n
Tính chất chia hết của một tổng
+ Tính chất 1 : Cho a, b, n là các số tự nhiên khác 0. Nếu a
và b
thì (a + b)
và (a - b)
Nếu a n , b
và c
thì (a + b + c)
n
n
n
n
n
+ Tính chất 2: Cho a, b, n là các số tự nhiên khác 0. Nếu a n và b n thì (a + b) n
và (a - b) n
n
Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5
Nếu a n , b
và c
thì (a + b + c)
+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
+ Các số có chữ số tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5
Dấu hiệu chia hết cho 9, cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9. Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
DẠNG 6: TOÁN CÓ LỜI VĂN
Dạng toán có lời văn:
Nắm vững quy ước về ý nghĩa của các số mang dấu "+ ", "-".
Vận dụng các các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số nguyên, để giải quyết các bài toán có lời văn.
Đối với các bài toán tìm số chưa biết ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Tạo ra đẳng thức của bài toán:
+ Dựa vào câu hỏi của đề bài, gọi dữ liệu cần tìm là x ( hoặc y, z ...) và đặt điều kiện thích hợp cho x;
+ Tạo ra đẳng thức của bài toán dựa vào dữ kiện của đề bài;
Bước 2: Tìm x thông qua đẳng thức vừa tạo ở Bước 1; Bước 3: Kết luận:
+ Kiểm tra xem trong các số vừa tìm được ở Bước 2, số nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
+ Kết luận bài toán.
DẠNG 7: DÃY SỐ TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
Phương pháp: dùng công thức tính tổng dãy số tự nhiên
Số các số hạng = (số lớn – số bé) : khoảng cách + 1. Tổng của dãy là: (Số lớn + số bé). Số các số hạng : 2
B - PHẦN BÀI TẬP
I – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: SO SÁNH SỐ NGUYÊN
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Chọn câu đúng
A. 2 > 3 .	B. 3 < -2 .	C. 0 < -3 .	D. -4 < -3 .
Câu 2. Chọn câu sai
A. -5 < -2 .	B. 0 < 4 .	C. 0 < -3 .	D. -4 < -3 .
Câu 3.
Tìm số nguyên dương nhỏ hơn 2
A.2.
B.0.
C.1.
D.-1
Câu 4.
Giá trị là
A. 6
Câu 5.
B. -6 .
So sánh hai số -(-5) và 3
C. 12 .
D. 5 .
A. -(-5) = 3.	B. -(-5) 3.	D. -(-5) £ 3.
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 6.	Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng
Số nguyên lớn hơn – 1 là số nguyên dương
Số nguyên nhỏ hơn 1 là số nguyên âm
Số 0 không là số nguyên âm cũng không phải là số nguyên dương
Số 0 là số nguyên dương
Câu 7.	Chọn đáp án sai
A. -33.(-5) > 0
B. -23.5 < 0
C. -33.5 < 123
D. -33.(-5) < 0
Câu 8. Cho các tích sau: (-2).(-5);(-3).5;(-1000).2;0 tìm tích có giá trị lớn nhất
A. (-2).(-5)
B. (-1000).2
C. -3.5
D. 0 .
Câu 9.	Chọn đáp án Đúng
A. -33.5 > 0	B. -33.5 = 0 .	C. -33.5 < 0 .	D. -33.5 0 .
Câu 10.	Sắp xếp các số sau 0; -2;5;7; -1; -8 theo thứ tự giảm dần
A. 0; -2;5;7; -1; -8	B. 7;5;0;-1;-2;-8 .	C. 7;5;0; -8; -2; -1.	D. 7;5;0; -2; -1; -8 .
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 11.	Chọn câu đúng
A. -(-5) < -(-4)
B. -(-5) < 0 .	C. -(-5) < 4
D. -(-5) = 5 .
Câu 12.	Chọn câu sai:
A. (-19).(-7) > 0
Câu 13.	Chọn câu đúng:

B. 3.(-121) < 0 .	C. 45.(-11) < -500 .	D. 46.(-11) < -500 .
A. (-8).(-7) < 0
B. 3.(-15) > (-2).(-3)
C. 2.18 = (-6).(-6) .	D. (-5).6 > 0
Câu 14.	So sánh (-213).(-345)
A. (-213).(-345) > -426
với -426

B. (-213).(-345) < -426 .
C. (-213).(-345) = -426 .	D.Tất cả các phương án đều sai
Câu 15.	Cho biểu thức
A = (-1).2.(-3).4.(-5).6 , chọn khẳng định đúng
A. A là số nguyên âm	B. A à số nguyên dương	C.
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
A = 0
D. A = -300
Câu 16.	Không tính kết quả, hãy so sánh (-76).72 với 37.57
A. (-76).72 > 37.57	B. (-76).72 = 37.57 .
C. (-76).72 < 37.57 .	D.Tất cả các phương án đều sai
Câu 17.	Cho
M = (-188).(-16).24.25 , chọn khẳng định đúng
M > 0
M < 0
M = 0 .	D.Tất cả các phương án trên đều sai
Câu 18.	Cho
M = (-1).(-2).(-3).(-4)	(-19) , chọn khẳng định đúng
M > 0
M < 0 .	C.
M = 0 .	D.Tất cả các phương án trên đều sai
Câu 19.	Cho
A > B
A = (-9).(-3) + 21.(-2) + 25 và
A = B
B = (-5).(-13) + (-3).(-7) - 80 , chọn khẳng định đúng
A < B .	D.Tất cả các phương án đều sai
Câu 20.	Cho
M = (-2)2020 - 22020 , chọn khẳng định đúng
M > 0
M < 0 .	C.
M = 0 .	D.Tất cả các phương án đều sai
DẠNG 2: CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ NGUYÊN
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1.	Hãy khoanh tròn chữ đứng trước câu trả lời đúng:
Tổng hai số nguyên dương là một số nguyên dương.
Tổng hai số nguyên âm là một số ngu ... 2.
Vị trí tầng mà cô Lan làm việc là: -2 + 22 = 20
Vậy cô Lan làm việc ở tầng 
Bài 17. Cho số nguyên sao cho tổng của số bất kì trong các số đó đều là một số âm. Giải thích vì sao tổng của số đó cũng là một số âm. Bài toán còn đúng không nếu thay số bởi số?
Lời giải
Ta chia số làm nhóm, mỗi nhóm số. Vì tổng của số bất kì là một số âm nên tổng các số trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tổng của ba nhóm tức tổng của số là một số âm.
Nếu thay số bằng số thì trong sô ít nhất cũng có một số âm (Vì nếu không có một số âm nào thì tổng của số bất kì không thể là số âm). Ta tách riêng số âm đó ra còn lại số. Theo chứng minh trên tổng của số là một số âm, cộng với số âm đã tách riêng ra từ đầu sẽ được một số âm, tức là tổng của số đã cho thỏa mãn bài toán là một số âm.
Bài 18. Cho số nguyên trong đó tổng của số bất kỳ là số dương. Chứng tỏ tổng của số nguyên đã cho là một số nguyên dương.
Lời giải
Trong số nguyên đã cho phải có ít nhất một số dương vì nếu cả số đều là số âm thì tổng của số bất kỳ trong chúng là số âm, trái với đề bài. Tách riêng số dương đó. Chia số còn lại thành nhóm mỗi nhóm có số thì tổng của các số trong mỗi nhóm là số dương. Tổng của số dương này với số dương ban đầu là số dương.
Bài 19. Cho số nguyên. Tích của số nguyên bất kì luôn là một số âm. Chứng minh rằng tích của 
số đó là một số dương.
Lời giải
Tích của số bất kì là một số âm nên trong ba số đó ít nhất cũng có một số âm. Ta tách riêng số âm đó ra, còn lại số. Ta chia số này làm 5 nhóm, mỗi nhóm số. Tích số trong mỗi nhóm là một số âm. Vậy tích của nhóm với 1 số âm đã tách riêng ra là tích của số âm, do đó tích của chúng là một số dương.
Bài 20.	Cho là một số nguyên, hỏi giá trị lớn nhất có thể của
Lời giải
A = 2021- (2x -1)2
bằng bao nhiêu?
Vì x là một số nguyên nên 2x -1 là một số nguyên lẻ và khác 0, do đó
(2x -1)2 ³ 1
Hay 2021- (2x -1)2 £ 2020
A £ 2020
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (2x -1)2 = 1 hay x Î{0; 1}
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2020 khi
x Î{0; 1}
DẠNG 7: DÃY SỐ TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU.
50	x	50.
Bài 1:	Liệt kê và tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn. a)
b) 0 < x < 4.
c) -4 < x < 0.
d) -3 < x < 8 .
50	x	50.
a)

Lời giải
Ta có
x Î{-49; -48; -47; -46; -45;	; 45; 46; 47; 48; 49}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-49) + (-48) + (-47) +... + 47 + 48 + 49 S = (-49 + 49) + (-48 + 48) +... + (-1+1) + 0 S = 0 .
b) 0 < x < 4.
Ta có
x Î{1; 2;3}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S =1+ 2 + 3 = 6 .
c) -4 < x < 0.
Ta có
x Î{-3; -2; -1}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-3) + (-2) + (-1) = -6 .
d) -3 < x < 8.
Ta có x Î{-2; -1; 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
S = (-2 + 2) + (-1+1) + (3 + 7) + (4 + 6) + (0 + 5)
S = 0 + 0 +10 +10 + 5
S = 25 .
Bài 2:	Liệt kê và tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn. a) -2 £ x < 6.
b) -1 £ x < 1.
c) -5 < x £ 6.
d) -7 < x £ 7. .
Lời giải
a) -2 £ x < 6.
Ta có x Î{-2; -1; 0;1; 2;3; 4;5}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 + 4 + 5 S = (-2 + 2) + (-1+1) + 0 + 3 + 4 + 5 S = 12 .
b) -1 £ x < 1.
Ta có
x Î{-1; 0}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = -1+ 0 = -1.
c) -5 < x £ 6.
Ta có
x Î{-4; -3; -2; -1; 0;1; 2;3; 4;5; 6}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 S = (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1+1) + (0 + 5 + 6) S =11.
d) -7 < x £ 7.
Ta có
x Î{-6; -5; -4; -3; -2; -1; 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 S = (-6 + 6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1+1) + (0 + 7) S = 7 .
Bài 3:	Liệt kê và tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn.
a) -3 £ x £ 3.
b) -2 £ x £ 4.
c) -5 £ x £ 2.
d) -1 £ x £ 0..
Lời giải
a) -3 £ x £ 3.
Ta có
x Î{-3; -2; -1; 0;1; 2;3}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-3) + (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 S = (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1+1) + 0 S = 0 .
b) -2 £ x £ 4.
Ta có
x Î{-2; -1; 0;1; 2;3; 4}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 + 3 + 4 S = (-2 + 2) + (-1+1) + (0 + 3 + 4) S = 7 .
c) -5 £ x £ 2.
Ta có
x Î{-5; -4; -3; -2; -1; 0;1; 2}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 +1+ 2 S = [(-5) + (-4) + (-3)]+ (-2 + 2) + (-1+1) + 0 S = -12 .
d) -1 £ x £ 0.
Ta có
x Î{-1; 0}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-1) + 0 = -1.
Bài 4:	Liệt kê và tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn.
-10 £ x < 2 và x lẻ.
-1£ x £ 6 và x lẻ.
-7 < x < 4 và x chẵn.
0 < x £ 10 và x chẵn.
Lời giải
-10 £ x < 2 và x lẻ.
Ta có
x Î{-9; -7; -5; -3; -1;1}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-9) + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) +1
S = [(-7) + (-3)]+ (-1+1) +[(-9) + (-5)]
S = (-10) + (-14)
S = -24 .
-1£ x £ 6 và x lẻ.
Ta có
x Î{-1;1;3;5}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = -1+1+ 3+ 5
S = (-1+1) + (3 + 5)
S = 8.
-7 < x < 4 và x chẵn.
Ta có
x Î{-6; -4; -2; 0; 2}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-6) + (-4) + (-2) + 0 + 2 S = [(-6) + (-4)]+ (-2 + 2) + 0 S = -10 .
0 < x £ 10 và x chẵn.
Ta có
x Î{2; 4; 6;8;10}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = 2 + 4 + 6 + 8 +10
S = (2 + 8) + (4 + 6) +10
S =10 +10 +10
S = 30 .
Bài 5:	Liệt kê và tính tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn.
-100 < x < 0 và x có chữ số tận cùng là chữ số 0 .
-12 £ x £ 20 và x chia hết cho 5 .
-22 £ x <14 và x chia hết cho 9 .
Lời giải
-100 < x < 0 và x có chữ số tận cùng là chữ số 0 .
Ta có
x Î{-90; -80; -70; -60; -50; -40; -30; -20; -10}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-90) + (-80) + (-70) + (-60) + (-50) + (-40) + (-30) + (-20) + (-10)
S = [(-90) + (-10)]+[(-80) + (-20)]+[(-70) + (-30)]+ [(-60) + (-40)]+ (-50)
S = (-100) + (-100) + (-100) + (-100) + (-50)
S = -450 .
-12 £ x £ 20 và x chia hết cho 5 .
Ta có
x Î{-10; -5; 0;5;10;15; 20}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-10) + (-5) + 0 + 5 +10 +15 + 20 S = (-10 +10) + (-5 + 5) + (0 +15 + 20) S = 35.
-22 £ x <14 và x chia hết cho 9 .
Ta có
x Î{-18; -9; 0;9}
Tổng tất cả các số nguyên x thỏa mãn là.
S = (-18) + (-9) + 0 + 9 S = (-9 + 9) + (-18 + 0) S = -18.
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG.
Bài 6:	Tính tổng
a) S =1- 2 + 3- 4 + 5 - 6 + + 99 -100.
b) P =12 -13+14 -15 ++ 2020 - 2021.
Lời giải
Tổng S có 100 số hạng. Ta kết hợp thành 50 cặp, mỗi cặp đều có tổng bằng -1 như sau:
S =1- 2 + 3- 4 + 5 - 6 ++ 99 -100.
S = (1- 2) + (3 - 4) + (5 - 6) ++ (99 -100).
S = (-1) + (-1) ++ (-1) = -50.
b) Tổng P có 2021-12 +1 = 2010 (số hạng).
Ta kết hợp hai số hạng liên tiếp, ta được 1005 tổng, mỗi tổng đều bằng (-1) . Nên ta tính P như sau:
P = (12 -13) + (14 -15) ++ (2020 - 2021)
P = (-1) + (-1) +..... + (-1) = (-1).1005 = -1005 .
Bài 7:	Tính tổng S =1+ 2 + 3- 4 - 5 - 6 + 7 + 8 + 9 -10 -11-12 ++ 55 + 56 + 57 - 58 - 59 - 60. .
Lời giải
Tổng S có 60 số hạng, ta kết hợp 6 số hạng liên tiếp, ta được 10 tổng bằng nhau:
S =1+ 2 + 3- 4 - 5 - 6 + 7 + 8 + 9 -10 -11-12 ++ 55 + 56 + 57 - 58 - 59 - 60.
S = (1+ 2 + 3 - 4 - 5 - 6) + (7 + 8 + 9 -10 -11-12) ++ (55 + 56 + 57 - 58 - 59 - 60).
= (-3) + (-3) +.... + (-3) = (-3).10 = -30 .
Bài 8:	Tính tổng
a) P =1- 3 + 5 - 7 ++ 2021- 2023.
b) Q =1- 4 + 7 -10 +-100 +103 .
a) Tổng P có (2023 -1) : 2 +1 = 1012

Lời giải
số hạng.
Tính từ số hạng đầu tiên của dãy, ta kết hợp hai số hạng liên tiếp, ta được 506 tổng bằng nhau, mỗi tổng đều bằng -2
P =1- 3 + 5 - 7 ++ 2021- 2023
P = (1- 3) + (5 - 7) ++ (2021- 2023)
P = (-2) + (-2) +.....(-2) = (-2).506 = -1012
Tổng Q có (103 -1) : 3 +1 = 35 số hạng.
Tính từ số hạng đầu tiên của dãy, ta kết hợp hai số hạng liên tiếp, ta được 17 tổng bằng nhau, mỗi tổng đều bằng (-3) và còn lẻ ra số hạng cuối là103 . Nên ta có:
Q = (1- 4) + (7 -10) ++ (97 -100) +103
Q = (-3) + (-3) ++ (-3) +103
Q = (-3).17 +103 = 52 .
Bài 9:	Tính tổng
a) S = (-2) + 4 + (-6) + 8 ++ (-18) + 20 .
b) P = 20 + (-22) + 24 + (-26) ++ 2020 + (-2022) + 2024 .
Lời giải
Tổng S có (20 - 2) : 2 +1 = 10 số hạng. Ta kết hợp hai số hạng liên tiếp, được 5 tổng, mỗi tổng đều bằng 2 . Do đó ta tính S như sau:
S = éë(-2) + 4ùû + éë(-6) + 8ùû + 	+ éë(-18) + 20ùû
S = 2 + 2 +... + 2 = 2.5 =10 . Vậy S = 10 .
b) Tổng P có (2024 - 20) : 2 +1 = 1003 số hạng.
Tính từ số hạng đầu tiên của dãy, ta kết hợp hai số hạng liên tiếp, ta được 501 tổng, mỗi tổng đều bằng (-2) và còn lẻ ra số hạng 2024 . Do đó ta tính P như sau:
P = éë20 + (-22)ùû + éë24 + (-26)ùû + 	+ éë2020 + (-2022)ùû + 2024
P = (-2) + (-2) ++ (-2) + 2024
P = (-2).501+ 2024 P = -1002 + 2024 P = 1022.
Bài 10:	Tính tổng sau một cách hợp lí.
a) A =1+ 3- 5 - 7 + 9 +11-- 397 - 399 .
b) B =1- 2 - 3+ 4 + 5 - 6 - 7 ++ 97 - 98 - 99 +100 .
Lời giải
Tổng A có (399 -1) : 2 +1 = 200 số hạng. Kết hợp từng nhóm 4 số hạng, ta được 50 tổng đều bằng (-8) . Ta có
A = (1+ 3 - 5 - 7) + (9 +11-13 -15) ++ (393 + 395 - 397 - 399)
A = (-4).50 = -400 .
Tổng B có 100 số hạng. Kết hợp từng nhóm 4 số hạng, mỗi nhóm đều có tổng bằng 0 . Nên ta có:
B = (1- 2 - 3 + 4) + (5 - 6 - 7 + 8) ++ (97 - 98 - 99 +100)
B = 0.25 = 0 .
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO.
Bài 11:	Cho
A =1+ 2 - 3- 4 + 5 + 6 -- 99 -100 .
A có chia hết cho 2 , cho 3 , cho 5 hay không?
A có bao nhiêu ước nguyên? Có bao nhiêu ước tự nhiên?
Lời giải
Tổng A có 100 số hạng, ta kết hợp từng nhóm 4 số hạng, mỗi nhóm đều có tổng bằng (-4) . Ta được:
A = (1+ 2 - 3 - 4) + (5 + 6 - 7 - 8) ++ (97 + 98 - 99 -100)
A = (-4).25
A = -100.
Vậy A chia hết cho 2 và cho 5 . Không chia hết cho 3 .
b) Xét 100 = 22.52
nên ta có:
Số ước tự nhiên của A là (2 +1).(2 +1) = 9 ước. Số ước nguyên của A là 9.2 = 18 ước.
Bài 12:	Tìm số nguyên x biết rằng:
x + ( x +1) + ( x + 2) ++19 + 20 = 20 .
Lời giải
x + ( x +1) + ( x + 2) ++19 + 20 = 20
Þ x + ( x +1) + ( x + 2) +..... +19 = 0 (1)
Þ ( x +19). n = 0 (với n là số các số hạng ở vế trái của (1).
2
Vì n ¹ 0 suy ra x +19 = 0 Þ x = -19
Vậy
Bài 13:	Cho
x = -19 .
A =1- 7 +13-19 + 25 - 31+...
Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A .
Tính số hạng thứ 2004 của A .

Lời giải
Ta có
A = (1- 7) + (13 -19) + (25 - 31) +...
Û A = (-6) + (-6) + (-6) +...
Vì A có 40 số hạng nên có 20 cặp
Nên
A = 20.(-6) = -120
b)
Xét giá trị dương của các số hạng.
Số hạng thứ n của dãy có dạng tổng quát là 1+ (n -1).6
Số hạng thứ 2004 là 1+ (2004 -1).6 = 12019 .
Số hạng thứ 2004 của dãy A mang dấu (-) nên giá trị cần tìm là -12019 .
Bài 14:	Tìm số nguyên x , biết.
(x +1) + (x + 2) + (x + 3) +... + (x +1000) = 500 .
Lời giải
(x +1) + (x + 2) + (x + 3) +... + (x +1000) = 500
Û (x + x +... + x) + (1+ 2 + 3 +... +1000) = 500
Û1000x + 500500 = 500
Û1000x = 500 - 500500
Û1000x = -500000
Û x = -500 .
Bài 15:	Cho A =1+11+111+... +111...1(Số hạng cuối được viết bởi 20 chữ số 1). Hỏi A chia cho 9 dư
bao nhiêu?
Lời giải
Một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9 . Ta có
11 có tổng các chữ số là 2
111có tổng các chữ số là 3
111...1(có 20 chữ số 1) có tổng là 20 .
Tổng các chữ số của A là 1+ 2 + 3 +... + 20 = 210
Mà 210 chia cho 9 dư 3 nên A chia cho 9 dư 3 .